難易度
1セット
誤答の傾向
問題を解くと、間違いのパターンごとに集計されます。数問では傾向は出ません。50問あたりから形が見えてきます。
部分積分とは
∫uv′ = uv − ∫u′v の − を落とす誤答と、π の係数と定数を入れ違える誤答を判定します。
解き方の例やさしい
次の定積分の値を求めよ。答えは kπ + c の形になる（k, c は整数）。
∫0π 2x sin x dx
- u = 2x、v′ = sin x とおく。このとき u′ = 2、v = −cos x。微分すると簡単になるほう（x）を u にします。逆にすると x² が出てきて悪化します。
- 公式は ∫uv′ = uv − ∫u′v。この真ん中の − が最頻出のミスです。+ にすると答えの符号がまるごと逆になります。
- uv の部分は [2x · (−cos x)]0π、残りは ∫0π 2(−cos x) dx。下端が 0 なので、x が掛かっている項は下端で必ず 0 になります。
- 計算すると = 2π。sin π = 0、cos π = −1、cos 2π = 1 を使います。
答え = 2π
解き方の例ふつう
次の定積分の値を求めよ。答えは kπ + c の形になる（k, c は整数）。
∫02π −5x sin x dx
- u = −5x、v′ = sin x とおく。このとき u′ = −5、v = −cos x。微分すると簡単になるほう（x）を u にします。逆にすると x² が出てきて悪化します。
- 公式は ∫uv′ = uv − ∫u′v。この真ん中の − が最頻出のミスです。+ にすると答えの符号がまるごと逆になります。
- uv の部分は [−5x · (−cos x)]02π、残りは ∫02π −5(−cos x) dx。下端が 0 なので、x が掛かっている項は下端で必ず 0 になります。
- 計算すると = 10π。sin 2π = 0、cos π = −1、cos 2π = 1 を使います。
答え = 10π
この単元でよくある間違い
- 符号が逆（uv − ∫u′v の − を落とした）
- 部分積分の公式は uv のあとを引きます。足すと答えがそのまま逆符号になります。
- π の係数と定数を入れ違えた
- π が付いているほうが k です。
- 前についている係数を掛けていない
- 定数は ∫ の外に出せますが、最後に必ず掛け戻します。
ドリルで答え合わせをすると、上のどれに当てはまるかを自動で判定します。