ドリル ／ 数学III ／ 積分法

曲線の長さ

L = ∫√(1 + (y′)²) dx。√ を書かずに積分してしまう誤答と、係数 2／3 を落とす誤答を判定します。

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問題

誤答の傾向

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問題を解くと、間違いのパターンごとに集計されます。数問では傾向は出ません。50問あたりから形が見えてきます。

　

曲線の長さとは

L = ∫√(1 + (y′)²) dx。√ を書かずに積分してしまう誤答と、係数 2／3 を落とす誤答を判定します。

解き方の例やさしい

曲線 y = 23x3/2 の 3 ≦ x ≦ 8 の部分の長さ L を求めよ。既約分数で答えよ（整数のときは分母に 1）。

L = ∫38 √(1 + (y′)2) dx
  1. y′ = x1/2 なので (y′)2 = x。3／2 乗を微分すると 3／2 が前に出て、指数は 1／2。前の 2／3 と打ち消し合います。
  2. よって L = ∫38 √(1 + x) dx。ここで √ を外して ∫(1 + x) dx にしてしまうミスが非常に多いです。
  3. 原始関数は 23(1 + x)3/2。指数 1／2 を1つ上げて 3／2、その 3／2 で割るので 2／3 が付きます。
  4. 1 + 3 = 4、1 + 8 = 9 なので 23(33 − 23) = 23 × 19 = 383。√ を落とすとここが 65／2 になります。

答え　L = 383

解き方の例ふつう

曲線 y = 23x3/2 の 0 ≦ x ≦ 3 の部分の長さ L を求めよ。既約分数で答えよ（整数のときは分母に 1）。

L = ∫03 √(1 + (y′)2) dx
  1. y′ = x1/2 なので (y′)2 = x。3／2 乗を微分すると 3／2 が前に出て、指数は 1／2。前の 2／3 と打ち消し合います。
  2. よって L = ∫03 √(1 + x) dx。ここで √ を外して ∫(1 + x) dx にしてしまうミスが非常に多いです。
  3. 原始関数は 23(1 + x)3/2。指数 1／2 を1つ上げて 3／2、その 3／2 で割るので 2／3 が付きます。
  4. 1 + 0 = 1、1 + 3 = 4 なので 23(23 − 13) = 23 × 7 = 143。√ を落とすとここが 15／2 になります。

答え　L = 143

この単元でよくある間違い

√ を外して積分した
L = ∫√(1 + (y′)²) dx です。√ の中身だけを積分すると別の値になります。
2／3 を掛けていない
指数 1／2 を上げると 3／2。その 3／2 で割るので 2／3 が付きます。

ドリルで答え合わせをすると、上のどれに当てはまるかを自動で判定します。