回転体の体積

解き方の例やさしい

曲線 y = √x と x 軸、x = 4, x = 10 で囲まれた部分を x 軸のまわりに1回転させた立体の体積は kπ と表せる。k を求めよ。

1. V = π ∫ y² dx なので、まず y² を作る。y のまま積分してはいけません。必ず2乗します。
2. y = √x より y² = x。√ が消えて、ただの x になります。
3. ∫₄¹⁰ x dx = x²2 → 10² − 4²2 = 421／2 を落とさないこと。

答え　k = 42

解き方の例ふつう

曲線 y = 1x と x 軸、x = 5, x = 10 で囲まれた部分を x 軸のまわりに1回転させた立体の体積は kπ と表せる。k を既約分数で答えよ。

1. y = 1x より y² = 1x²。
2. ∫ x⁻² dx = −1x なので、指数が −2 でも「1つ上げて、その数で割る」は同じ。−1 乗になります。
3. [−1x]₅¹⁰ = 15 − 110 = 110

答え　k = 110

この単元でよくある間違い

y を2乗していない

体積は π∫y² dx です。y のまま積分していませんか。

1／2 を落とした

∫x dx = x²／2 です。

ドリルで答え合わせをすると、上のどれに当てはまるかを自動で判定します。