三角関数の合成

解き方の例やさしい

次の関数の最大値と最小値を求めよ。θ はすべての実数を動く。

1. −3sin θ + 4cos θ を合成すると r sin(θ + α) の形になる。sin と cos が同じ角で足されているときは、1つの sin にまとめられます。
2. r = √(−3² + 4²) = √25 = 5。√ を外すのを忘れると 25 のままになります。a + b でもありません。
3. sin(θ + α) は −1 から 1 まで動くので、−3sin θ + 4cos θ は −5 から +5 まで動く。α が何であっても、θ が全実数なら sin は必ず −1〜1 を全部とります。
4. よって 最大値 5、最小値 −5。

答え　最大値 5、最小値 −5

解き方の例ふつう

次の関数の最大値と最小値を求めよ。θ はすべての実数を動く。

1. −5sin θ + 12cos θ を合成すると r sin(θ + α) の形になる。sin と cos が同じ角で足されているときは、1つの sin にまとめられます。
2. r = √(−5² + 12²) = √169 = 13。√ を外すのを忘れると 169 のままになります。a + b でもありません。
3. sin(θ + α) は −1 から 1 まで動くので、−5sin θ + 12cos θ は −13 から +13 まで動く。α が何であっても、θ が全実数なら sin は必ず −1〜1 を全部とります。
4. 定数 −2 を足して、最大値 11、最小値 −15。定数はそのまま上下にずらすだけです。

答え　最大値 11、最小値 −15

この単元でよくある間違い

√ を外していない

r は a² + b² ではなく √(a² + b²) です。

a + b を r にした

合成の r は三平方の定理で出します。単純な和ではありません。

定数項を足していない

±r のあとに定数を加えます。

ドリルで答え合わせをすると、上のどれに当てはまるかを自動で判定します。