極値と増減

解き方の例やさしい

次の関数が極大・極小となる x の値を求めよ。

1. 微分すると f′(x) = 3x² − 12x + 9。各項の指数を前に出して、指数を1つ下げます。
2. 因数分解して f′(x) = 3(x − 1)(x − 3) = 0 より x = 1, 3。これは「極値をとる x」であって、極値そのものではありません。
3. x³ の係数が正なので、増減は 増 → 減 → 増。小さい方の x = 1 で極大、大きい方の x = 3 で極小になる。3次関数の x³ の係数が正のとき、極大が先、極小が後です。
4. 答えは 極大 x = 1、極小 x = 3。

答え　極大 x = 1、極小 x = 3

解き方の例ふつう

次の関数の極大値と極小値を求めよ。

1. 微分すると f′(x) = 3x² + 12x + 9。各項の指数を前に出して、指数を1つ下げます。
2. 因数分解して f′(x) = 3(x + 3)(x + 1) = 0 より x = −3, −1。これは「極値をとる x」であって、極値そのものではありません。
3. x³ の係数が正なので、増減は 増 → 減 → 増。小さい方の x = −3 で極大、大きい方の x = −1 で極小になる。3次関数の x³ の係数が正のとき、極大が先、極小が後です。
4. もとの式に代入して f(−3) = 3、f(−1) = −1。代入するのは f′ ではなく f のほうです。定数項も忘れずに。
5. 答えは 極大値 3、極小値 −1。

答え　極大値 3、極小値 −1

この単元でよくある間違い

極大と極小が逆

x³ の係数が正のときは、小さい x のほうが極大です。

極値をとる x を答えた

極値は y の値です。f′(x) = 0 の解を、もとの f に代入します。

極値そのものを答えた

ここで聞いているのは x の値です。

定数項を足していない

f(x) に代入するとき、最後の定数項も入ります。

ドリルで答え合わせをすると、上のどれに当てはまるかを自動で判定します。